a: Xét tứ giác CAOM có

góc CAO+góc CMO=180 độ

nên CAOM là tứ giác nội tiêp

b: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) co

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: AC*BD=CM*MD=R^2

d: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ABDC có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên ON là đường trung bình

=>ON vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (N)

a: Xét tứ giác AMIO có 

\(\widehat{MAO}+\widehat{MIO}=180^0\)

Do đó; AMIO là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

MI là tiếp tuyến

MA là tiếp tuyến

Do đó: MI=MA và OM là tia phân giác của góc IOA(1)

Xét (O) có

NI là tiếp tuyến

NB là tiếp tuyến

Do đó: NI=NB và ON là tia phân giác của góc IOB(2)

Ta có: MI+NI=MN

nên MN=MA+NB

b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{NOI}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{IOA}+\widehat{IOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

Xét ΔMON vuông tại O có OI là đường cao

nên \(IM\cdot IN=OI^2\)

hay \(AM\cdot BN=R^2\)

a: góc CAO+góc CMO=180 độ

=>CAOM nội tiếp

góc DMO+góc DBO=180 độ

=>DMOB nội tiếp

b: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

=>CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DOC=1/2*180=90 độ

Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao

nên CM*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2

a: Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}+\widehat{CNO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMON là tứ giác nội tiếp

=>C,M,O,N cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\widehat{CMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MC và dây cung MA

\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\widehat{CMA}=\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)

Xét ΔCMA và ΔCBM có

\(\widehat{CMA}=\widehat{CBM}\)

\(\widehat{MCA}\) chung

Do đó: ΔCMA~ΔCBM

=>\(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CA}{CM}\)

=>\(CM^2=CA\cdot CB\)

c: Xét (O) có

CM,CN là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CN

=>C nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của MN

=>OC\(\perp\)MN tại H

Xét ΔCMO vuông tại M có MH là đường cao

nên \(CH\cdot CO=CM^2\)

=>\(CH\cdot CO=CA\cdot CB\)

=>\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

Xét ΔCHA và ΔCBO có

\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCBO

=>\(\widehat{CHA}=\widehat{CBO}\)

mà \(\widehat{CBO}=\widehat{OAB}\)(ΔOAB cân tại O)

nên \(\widehat{CHA}=\widehat{OAB}\)

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân